Question

已知關于x的一元二次方程x²+px+q+1=0的一個實數根為2．
（1）用含p的代數式表示q；
（2）求證：拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個交點；
（3）設拋物線y₁=x²+px+q的頂點為M，與y軸的交點為E，拋物線y₂=x²+px+q+1頂點為N，與y軸的交點為F，若四邊形FEMN的面積等于2，求p的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x=2代入方程x²+px+q+1=0中，可得出p、q的關系式；
（2）用判別式進行判斷，同時，把（1）的關系式代入，利用配方法證明△＞0即可；
（3）由兩拋物線的解析式可知，拋物線y₂可由拋物線y₁向上平移1個單位得到，利用平移的性質證明四邊形FEMN為平行四邊形，根據平行四邊形的面積公式列方程求p的值．
解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程x²+px+q+1=0的一個實數根為 2，
∴2²+2p+q+1=0．…（1分）
整理，得 q=-2p-5． …（2分）

（2）∵△=p²-4（q+1）=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4，
無論p取任何實數，都有（p+4）²≥0，
∴無論p取任何實數，都有 （p+4）²+4＞0．
∴△＞0．  …（3分）
∴拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個交點．…（4分）

（3）∵拋物線與拋物線
的對稱軸相同，都為直線，且開口大小相同，
拋物線可由拋物線
沿y軸方向向上平移一個單位得到，
（如圖5所示，省略了x軸、y軸）
∴EF∥MN，EF=MN=1．
∴四邊形FEMN是平行四邊形． …（5分）
由題意得 ．
解得p=±4．…（7分）
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是把二次函數與一元二次方程結合解題，形數結合，通過觀察兩拋物線解析式，得出平移的關系．