Question

求方程組

x3+y3+z3=x+y+z x2+y2+z2=xyz

的所有（如果有）正實數解．

Answer 1

分析：本題從正面很難作答，故可利用反證法，假設原方程組有正實數解，把第二個方程化為關于x的一元二次方程的一般形式，再根據方程有實數根則△≥0，求出x，y，z的取值范圍，再把第一個方程化簡，得出與x，y，z的取值范圍相矛盾的結論即可．

解答：解：假設原方程組有正實數解．將第二個方程寫成x²-（yz）x+（y²+z²）=0．
∵關于x的二次方程有一個實數解的前提是它的判別式是非負數．
∴y²z²-4y²-4z²≥0，y²z²≥4y²+4z²．除以4y²z²，得

1

4

≥

1

y2

+

1

z2

≥

1

y2

．
∴y²≥4，由于y是正數，故y≥2，
同理得x，y，z≥2．
但第一個方程可寫成x（x²-1）+y（y²-1）+z（z²-1）=0，
∵x，y，z≥2，
∴原方程組不存在正實數解．

點評：本題考查的是非一次不定方程組的解，利用反證法由第二個方程得出x，y，z的取值范圍是解答此題的關鍵．