Question

如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA＝3，OC＝2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．

（1）直接寫出點E、F的坐標；

（2）設頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P，且以點E、F、P為          頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；

（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周 長最��？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．

          

 

Answer 1

【答案】

解：（1）；．

（2）在中，，

．

設點的坐標為，其中，

∵頂點，

∴設拋物線解析式為．

①當時，，

．

解得（舍去）；．

．

．

解得．

拋物線的解析式為

②當時，，

．

解得（舍去）．

③當時，，這種情況不存在．

綜上所述，符合條件的拋物線解析式是．

（3）存在點，使得四邊形的周長最小．

作點關于軸的對稱點，作點關于軸的對稱點，連接，分別與軸、軸交于點，則點就是所求點．

，．

．

．

又，

 ，此時四邊形的周長最小值是．

【解析】（1）由軸對稱的性質，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四邊形ABFD是正方形，則可求點E、F的坐標；

（2）已知拋物線的頂點，則可用頂點式設拋物線的解析式．因為以點E、F、P為頂點的等腰三角形沒有給明頂角的頂點，而頂角和底邊都是惟一的，所以要抓住誰是頂角的頂點進行分類，可分別以E、F、P為頂角頂點進行分類計算．