Question

如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=3，OC=2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．
（1）直接寫出點E、F的坐標；
（2）設頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P，且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）由軸對稱的性質，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四邊形ABFD是正方形，則可求點E、F的坐標；
（2）已知拋物線的頂點，則可用頂點式設拋物線的解析式．因為以點E、F、P為頂點的等腰三角形沒有給明頂角的頂點，而頂角和底邊都是惟一的，所以要抓住誰是頂角的頂點進行分類，可分別以E、F、P為頂角頂點進行分類計算．

解答：解：（1）E（3，1）；F（1，2）；

（2）連接EF，在Rt△EBF中，∠B=90°
∴EF=

BE2+BF2

=

5

，
設點P的坐標為（0，n），n＞0，
∵頂點F（1，2），
∴設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+2，（a≠0）．
①當EF=PF時，EF²=PF²，
∴1²+（n-2）²=5，
解得n₁=0（舍去），n₂=4．
∴P（0，4），
∴4=a（0-1）²+2，
解得a=2，
∴拋物線的解析式為y=2（x-1）²+2．
②當EP=FP時，EP²=FP²，
∴（2-n）²+1=（1-n）²+9，
解得n=-

5

2

（舍去）．
③當EF=EP時，EP=

5

＜3，這種情況不存在，
綜上所述，符合條件的拋物線為y=2（x-1）²+2．

點評：本題考查了矩形的性質，二次函數解析式的確定以及等腰三角形的構成情況等知識．
要注意（2）題在等腰三角形的腰和底不確定的情況下要分類討論，不要漏解．