Question

（2004•揚州）已知關于x的方程（k-3）x²+kx+1=0：
（1）求證不論k取何值，方程總有實數根；?
（2）當k=4時，設該方程的兩個實數根為α、β，求作一個以和為根的一元二次方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一元二次方程根的判別式即可證明；
（2）利用根與系數的關系把所求代數式化簡，然后再利用根與系數的關系解答．
解答：解：（1）∵△=k²-4（k-3）=k²-4k+12=（k-2）²+8＞0，
∴不論k取何值，方程總有實數根；

（2）依題意得α+β=-4，αβ=1，
以和為根的一元二次方程為y²-（+）y+×=0-----①，
當k=4時，原方程可化為x²+4x+1=0，
α、β為x²+4x+1=0的根，
所以α²+1=-4α，β²+1=-4β，
代入①得，y²-（+）y+1=0，
化為y²-（+）y+1=0，
∴y²-[]y+1=0，
因為x²+4x+1=0兩個實數根為α、β，所以α+β=-4，αβ=1，
代入y²-[]y+1=0可化為y²+14y+1=0．
點評：解答此題要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關系和一元二次方程根與系數的關系：一元二次方程總有實數根即判別式△≥0，已知方程的兩根構造一元二次方程是中考中經常出現的題目，需要首先求得兩根的和與兩根的積，正確對兩根的和與兩根的積進行變形是解決本題的關鍵．