Question

如圖所示：PA為⊙O的切線，A為切點，PBC是過點O的線段，PA=10，PB=5，
求：（1）⊙O的面積（注：用含π的式子表示）；
（2）cos∠BAP的值．

Answer 1

分析：（1）由PA為圓O的切線，可得出∠PAB為弦切角，根據弦切角等于夾弧所對的圓周角，可得出∠PAB=∠C，再由∠APB與∠CAP為公共角，根據兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出三角形ABP與三角形CAP相似，根據相似三角形成比例列出比例式，將PA及PB的值代入，求出CP的長，再由CP-BP求出直徑CB的長，進而確定出半徑的值，利用圓的面積公式即可求出圓O的面積；
（2）∠PAB=∠C，故要求cos∠BAP，即要求cosC，由BC為直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，可得出三角形ABC為直角三角形，根據銳角三角函數(shù)定義，∠C的鄰邊AC與斜邊CB的比值即為cosC的值，由第一問得出的三角形相似，用對應邊AP比CP求出相似三角形的對應邊之比為1：2，可設AB=k，則有AC=2k，在直角三角形ABC中，根據勾股定理可列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出AC的長，即可求出cosC的值，即為cos∠BAP的值．

解答：解：（1）∵PA為圓O的切線，
∴∠PAB=∠C，又∠APB=∠CPA，
∴△ABP∽△CAP，
∴

AP

CP

=

BP

AP

，即AP²=BP•CP，
又PA=10，PB=5，
∴10²=5CP，即CP=20，
∴BC=CP-BP=20-5=15，
∴圓的半徑OB=

15

2

，
則圓O的面積為π•（

15

2

）²=

225π

4

；
（2）∵△ABP∽△CAP，PA=10，CP=20，
∴

AP

CP

=

AB

CA

=

1

2

，
設AB=k，則CA=2k，
又CB為圓O的直徑，∴∠CAB=90°，
在直角三角形ABC中，根據勾股定理得：k²+（2k）²=15²，
解得：k=3

5

，
∴AC=6

5

，
∵∠PAB=∠C，
∴cos∠PAB=cosC=

AC

BC

=

6 5

15

=

2 5

5

．

點評：此題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定理，利用了轉化及方程的思想，其中弦切角等于夾弧所對的圓周角，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．