Question

已知，如圖拋物線y=ax2＋3ax＋c（a>0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（1,0），OC=3OB.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；

（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=x2+x-3；（2）；（3）P1（-3，-3），P2（，3），P3（，3）．

【解析】

試題分析：（1）已知B點坐標，易求得OB、OC的長，進而可將B、C的坐標代入拋物線中，求出待定系數的值，即可得出拋物線的解析式．

（2）根據A、C的坐標，易求得直線AC的解析式．由于AB、OC都是定值，則△ABC的面積不變，若四邊形ABCD面積最大，則△ADC的面積最大；可過D作x軸的垂線，交AC于M，x軸于N；易得△ADC的面積是DM與OA積的一半，可設出N點的坐標，分別代入直線AC和拋物線的解析式中，即可求出DM的長，進而可得出四邊形ABCD的面積與N點橫坐標間的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出四邊形ABCD的最大面積．

（3）本題應分情況討論：

①過C作x軸的平行線，與拋物線的交點符合P點的要求，此時P、C的縱坐標相同，代入拋物線的解析式中即可求出P點坐標；

②將AC平移，令C點落在x軸（即E點）、A點落在拋物線（即P點）上；可根據平行四邊形的性質，得出P點縱坐標（P、C縱坐標的絕對值相等），代入拋物線的解析式中即可求得P點坐標．

試題解析：（1）∵B（1，0），

∴OB=1；

∵OC=3BO，

∴C（0，-3）；

∵y=ax2+3ax+c過B（1，0）、C（0，-3），

∴；

解這個方程組，得

∴拋物線的解析式為：y=x2+x-3

（2）過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M、N

在y=x2+x-3中，令y=0，

得方程x2+x-3=0

解這個方程，得x1=-4，x2=1

∴A（-4，0）

設直線AC的解析式為y=kx+b

∴

解這個方程組，得

∴AC的解析式為：y=-x-3（3分）

∵S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC

=•DM•（AN+ON）

=•DM

設D（x，x2+x-3），M（x，-x-3）

DM=-x-3-（x2+x-3）=- （x+2）2+3

當x=-2時，DM有最大值3

此時四邊形ABCD面積有最大值

（3）如圖所示，

①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形

∵C（0，-3）

∴設P1（x，-3）

∴x2+x-3=-3

解得x1=0，x2=-3

∴P1（-3，-3）；

②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，

∵C（0，-3）

∴設P（x，3），

∴x2+x-3=3

x2+3x-8=0

解得或，

此時存在點P2（，3）和P3（，3）

綜上所述存在3個點符合題意，坐標分別是P1（-3，-3），P2（，3），P3（，3）．

考點：二次函數綜合題．