Question

【題目】如圖，在矩形中，，，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)如圖1，連接，是對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，連接．當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；

(2)如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)．當(dāng)平分時(shí)，求的長(zhǎng)；

(3)如圖3，連接，點(diǎn)在上，將矩形沿直線(xiàn)折疊，折疊后點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．

①求的值；

②連接，與是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)①；②相似，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先求出BD，進(jìn)而求出OD=OB=OA，再判斷出△ODE∽△ADO，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出△AEF≌△DCE，進(jìn)而求出BF=1，再判斷出△CHG∽△CBF，進(jìn)而求出，最后用勾股定理即可得出結(jié)論；
（3）①先求出EC=5，再求出D'C=1，根據(jù)勾股定理求出DH=，CH=，再判斷出△EMN∽△EHD，得出，△ED'M∽△ECH，得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；
②先判斷出∠MD'H=∠NED'，進(jìn)而判斷出∠MD'H=∠ECB，即可得出，即可．

(1)如圖1，連接，在矩形中，，，

在中，根據(jù)勾股定理得，，

∵是中點(diǎn)，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴∽，

∴，

∴，

∴設(shè)，

∴，

∴，

∴，

即：；

(2)如圖2，在矩形中，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴≌，

∴，

∴，

過(guò)點(diǎn)作于，

∴，

∴，，

∵，

∴∽，

∴，

設(shè)，

∴，

∴，

∴，

在中，；

(3)①在矩形中，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

由折疊知，，，，

∴，

設(shè)，

∴，

根據(jù)勾股定理得，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴∽，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴∽，

∴，

∴，

∴，

∴；

②相似，理由：由折疊知，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴∽．