Question

如圖，半徑為2的⊙E交x軸于A、B，交y軸于點C、D，直線CF交x軸負半軸于點F，連接EB、EC．已知點E的坐標為(1，1)，∠OFC＝30°．

(1)求證：直線CF是⊙E的切線；(2)求證：AB＝CD；(3)求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）陰影部分的面積為（）．

試題分析：（1）首先過點E作EG⊥y軸于點G，由點E的坐標為（1，1），可得EG=1．繼而可求得∠ECG的度數，又由∠OFC=30°，∠FOC=90°，可求得∠FCE=∠OCF+∠ECG=90°．
（2）首先過點E作EH⊥x軸于點H，易證得Rt△CEG≌Rt△BEH，又由EH⊥AB，EG⊥CD，則可證得AB=CD；
（3）連接OE，可求得OC=+1與∠OEB+∠OEC=210°，繼而可求得陰影部分的面積．
試題解析：（1）過點E作EG⊥y軸于點G，
∵點E的坐標為（1，1），
∴EG=1．
在Rt△CEG中，sin∠ECG=，
∴∠ECG=30°．
∵∠OFC=30°，∠FOC=90°，
∴∠OCF=180°﹣∠FOC﹣∠OFC=60°．
∴∠FCE=∠OCF+∠ECG=90°．
即CF⊥CE．
∴直線CF是⊙E的切線；
（2）過點E作EH⊥x軸于點H，
∵點E的坐標為（1，1），
∴EG=EH=1．
在Rt△CEG與Rt△BEH中，
∵，
∴Rt△CEG≌Rt△BEH（HL）．
∴CG=BH．
∵EH⊥AB，EG⊥CD，
∴AB=2BH，CD=2CG．
∴AB=CD；
（3）連接OE，

在Rt△CEG中，CG=，
∴OC=+1．
同理：OB=+1．
∵OG=EG，∠OGE=90°，
∴∠EOG=∠OEG=45°．
又∵∠OCE=30°，
∴∠OEC=180°﹣∠EOG﹣∠OCE=105°．
同理：∠OEB=105°．
∴∠OEB+∠OEC=210°．
∴S_陰影=．