Question

如圖，在直角坐標系中，⊙A的半徑為4，A的坐標為（2，0），⊙A與x軸交于E、F兩點，與y軸交于C、D兩點，過C點作⊙A的切線BC交x軸于B．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若一拋物線與x軸的交點恰為⊙A與x軸的兩個交點，且拋物線的頂點在直線上y=

3

3

x+2上，求此拋物線的解析式；
（3）試判斷點C是否在拋物線上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，由Rt△AOC∽Rt△COB?

AO

OC

=

OC

OB

，求得OB的長，即可得出確定B點坐標，進而可根據B、C坐標用待定系數法求得BC直線的解析式．
（2）根據圓心的坐標及圓的半徑不難得出E、F的坐標．根據拋物線和圓的對稱性可知：拋物線頂點和圓心的橫坐標必相等，據此可根據直線BC的解析式求出拋物線的頂點坐標．然后根據E、F及頂點坐標求出拋物線的解析式．
（3）在（1）中已經求得C點坐標，將C點坐標代入拋物線的解析式中進行判斷即可

解答：解：（1）連接AC，則AC⊥BC．
∵OA=2，AC=4，
∴OC=2

3

．
又∵Rt△AOC∽Rt△COB，
∴

AO

OC

=

OC

OB

．
∴OB=6．
∴點C坐標為（0，2

3

），點B坐標為（-6，0）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，
可求得直線BC的解析式為y=

3

3

x+2

3

．

（2）由題意得，⊙A與x軸的交點分別為E（-2，0）、F（6，0），
拋物線的對稱軸過點A為直線x=2．
∵拋物線的頂點在直線y=

3

3

x+2上，
∴拋物線頂點坐標為（2，

2 3

3

+2）．
設拋物線解析式為y=a（x-2）²+（

2 3

3

+2）．
∵拋物線過點E（-2，0），
∴0=a（-2-2）²+

2 3

3

+2．
解得a=-

3

24

-

1

8

．
∴拋物線的解析式為y=（-

3

24

-

1

8

）（x-2）²+

2 3

3

+2．
即y=-

3+ 3

24

x2 +

3+ 3

6

x+

3+ 3

2

．

（3）∵點C的坐標是（0，2

3

）．
拋物線與y軸的交點坐標為（0，

3 +3

2

），
∴點C不在拋物線上．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合，在解題時要結合圓的相關知識、二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質等知識點綜合起來運用是本題的關鍵．