Question

（2014•金山區一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=

3

5

，把這個直角三角形繞頂點C旋轉后得到Rt△A′B′C，其中點B′正好落在AB上，A′B′與AC相交于點D，那么

B′D

CD

=

7

20

．

Answer 1

分析：作CH⊥AB于H，先在Rt△ABC中，根據余弦的定義得到cosB=

BC

AB

=

3

5

，設BC=3x，則AB=4x，再根據勾股定理計算出AC=4x，在Rt△HBC中，根據余弦的定義可計算出BH=

9

5

x，接著根據旋轉的性質得CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，所以根據等腰三角形的性質有B′H=BH=

9

5

x，則AB′=

7

5

x，然后證明△ADB′∽△A′DC，再利用相似比可計算出B′D與DC的比值．

解答：解：作CH⊥AB于H，如圖，
在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=

BC

AB

=

3

5

，設BC=3x，則AB=5x，
AC=

AB2-BC2

=4x，
在Rt△HBC中，cosB=

BH

BC

=

3

5

，而BC=3x，
∴BH=

9

5

x，
∵Rt△ABC繞頂點C旋轉后得到Rt△A′B′C，其中點B′正好落在AB上，
∴CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，
∵CH⊥BB′，
∴B′H=BH=

9

5

x，
∴AB′=AB-B′H-BH=

7

5

x，
∵∠ADB′=∠A′DC，∠A′=∠A，
∴△ADB′∽△A′DC，
∴

AB′

A′C

=

B′D

DC

，即

7 5 x

4x

=

B′D

DC

，
∴

B′D

DC

=

7

20

．
故答案為

7

20

．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了三角形相似的判定與性質以及銳角三角形函數．