Question

已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點E是的中點，連接BE交AC于點G，BG的垂直平分線CF交BG于H交AB于F點．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若AB=8，BC=6，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AE，根據E為弧AD中點得出∠4=∠ABE，根據線段垂直平分線性質得出CG=BC，推出∠1=∠2，推出∠3+∠4=90°，根據∠1=∠3推出∠2+∠EBA=90°，根據切線判定推出即可；
（2）求出AC長，求出AG=4，證△EAG∽△EBA推出=，設AE=x，BE=2x，在Rt△AEB中，根據勾股定理求出x，即可求出BE．
解答：（1）證明：連接AE，
∵C在BG的垂直平分線CF上（已知），
∴CB=CG，
∴∠1=∠2，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠E=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠3=∠1=∠2，
∴∠2+∠4=90°，
∵，
∴∠ABE=∠4，
∴∠2+∠ABE=90°，
即∠ABC=90°，
∵OB是半徑，
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：∵BC是⊙O的切線，
∴∠ABC=90°，
由勾股定理，可得 AC==10，
∵CG=CB=6，
∴AG=10-6=4，
∵∠E=∠E，∠4=∠ABE，
∴△AEG∽△BEA，
∴===，
設AE=x，BE=2x．
在Rt△AEB中，由勾股定理，可得 x²+（2x）²=8²．解得：x=，
∴BE=2x=．
點評：本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質、線段的垂直平分線、切線的判定、相似三角形的性質和判定等知識點，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．