Question

【題目】綜合實踐:

問題情境

數學活動課上，老師和同學們在正方形中利用旋轉變換探究線段之間的關系探究過程如下所示:如圖I，在正方形中，點為邊的中點.將以點為旋轉中心，順時針方向旋轉，當點的對應點落在邊上時，連接.

“興趣小組”發現的結論是:；

“卓越小組”發現的結論是:.

解決問題

(1)請你證明“興趣小組”和“卓越小組”發現的結論；

拓展探究

證明完“興趣小組”和“卓越小組”發現的結論后，“智慧小組”提出如下問題:如圖2，連接，若正方形的邊長為，求出的長度.

(2)請你幫助智慧小組寫出線段的長度.(直接寫出結論即可)

Answer 1

【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)

【解析】

(1)①根據旋轉的性質，得到：，進而得到：，即可得到結論；

②先證：，可得：，利用余角的性質，進而可得：，即可得到結論；

連接AC′，BC′，過C′作C′M⊥BC于點M，易證：點C′在以E′為圓心，E′A為半徑的圓上，即：∠A C′B=90°，進而得到：tan∠BA C′=tan∠AD E′=，由AB=2，

得：BC′=，=，，，在RtCMC′中，利用勾股定理，即可求解.

(1)①由旋轉得到，

.

又四邊形是正方形，

.

，

(HL)，

；

②點為中點，，AB=BC，

點為的中點.

，

又

(SAS)，

.

連接AC′，BC′，過C′作C′M⊥BC于點M，

∵E′A= E′B= E′C′，

∴點C′在以E′為圓心，E′A為半徑的圓上，

∴∠A C′B=90°，

∵DA E′與D C′E′關于直線D E′軸對稱，

∴AC′⊥D E′，

∴∠BA C′+∠A E′D=90°，

∵∠AD E′+∠A E′D=90°，

∴∠BA C′=∠AD E′，

∴tan∠BA C′=tan∠AD E′=，即：BC′： AC′：AB=1：2：，

∵AB=2，

∴BC′=，

∵∠A BC′+∠MB C′=90°，∠A BC′+∠BAC′=90°，

∴∠MB C′=∠BAC′，

∴MC′：MB：B C′=1：2：，

∴=，，

∴，

∴在RtCMC′中，CC′=.