Question

如圖，在平面直角坐標系中，A是拋物線上的一個動點，且點A在第一象限內．AE⊥y軸于點E，點B坐標為（0，2），直線AB交軸于點C，點D與點C關于y軸對稱，直線DE與AB相交于點F，連結BD．設線段AE的長為m，△BED的面積為S．

（1）當時，求S的值．

（2）求S關于的函數解析式．

（3）①若S＝時，求的值；

②當m＞2時，設，猜想k與m的數量關系并證明．

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）①；②，證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據點在曲線上點的坐標與方程的關系，求出點A的坐標，根據△ABE∽△CBO求出CO的長，從而根據軸對稱的性質求出DO的長，進而求出△BED的面積S．

（2）分和兩種情況討論．

（3）①連接AD，由△BED的面積為求出現，得到點A 的坐標，應用待定系數法，設

得到，從而．

②連接AD，應用待定系數法，設得到，從而得到，因此．

得到，從而

試題解析：（1）∵點A是拋物線上的一個動點，AE⊥y軸于點E，且，

∴點A的坐標為．∴當時，點A的坐標為．

∵點B的坐標為，∴BE=OE=1．

∵AE⊥y軸，∴AE∥x軸． ∴△ABE∽△CBO．∴，即，解得．

∵點D與點C關于y軸對稱，∴．

∴．

（2）①當時，如圖，

∵點D與點C關于y軸對稱，∴△DBO≌△CBO．

∵△ABE∽△CBO，∴△ABE∽△DBO ．∴．∴

∴．

②當時，如圖，同①可得

綜上所述，S關于的函數解析式．

（3）①如圖，連接AD，

∵△BED的面積為，∴．∴點A 的坐標為．

設，∴．

∴．

∴．

②k與m的數量關系為，證明如下：

連接AD，則

∵，∴．

∴．

∵點A 的坐標為，∴．

考點：1．二次函數綜合題；2．單動點問題；3．曲線上點的坐標與方程的關系；4．相似三角形的判定和性質；5．軸對稱的性質；6．分類思想和待定系數法的應用．