Question

（2012•南湖區二模）如圖，點O在Rt△ABC的斜邊AB上，以O為圓心，OA長為半徑的⊙O切BC于點D，且分別交AC、AB于點E、F，若AC=6，BC=6

3

．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求弓形EDF的面積．

Answer 1

分析：（1）連結OD，設⊙O的半徑為R，根據切線的性質得OD⊥BC，再利用勾股定理計算出AB=12，則由含30度的直角三角形三邊的關系得∠B=30°，所以OB=2R，AB=3R=12，解得R=4；
（2）連結OE，OD交EF于H，根據圓周角定理得∠AEF=90°，則EF∥BC，根據平行線的性質得∠EFA=∠B=30°，OD⊥EF，根據垂徑定理得EH=FH，∠EOF=120°，在Rt△OHF中，可計算出OH=2，HF=2

3

，則EF=4

3

，然后利用弓形EDF的面積=S_扇形OEF-S_△OEF和扇形的面積公式進行計算．

解答：解：（1）連結OD，設⊙O的半徑為R，如圖，
∵⊙O切BC于點D，
∴OD⊥BC，
在Rt△ABC，AC=6，BC=6

3

，
∴AB=

AC2+BC2

=12，
∴∠B=30°，
在Rt△OBD中，OB=2OD=2R，
而AB=OA+OB=R+2R=3R，
∴3R=12，
∴R=4，
即⊙O的半徑為4；

（2）連結OE，OD交EF于H，如圖，
∵AF為⊙的直徑，
∴∠AEF=90°，
而∠C=90°，
∴EF∥BC，
∴∠EFA=∠B=30°，OD⊥EF，
∴EH=FH，∠EOF=120°，
在Rt△OHF中，OF=4，OH=

1

2

OF=2，HF=

3

OH=2

3

，
∴EF=2HF=4

3

，
∴弓形EDF的面積=S_扇形OEF-S_△OEF
=

120•π•42

360

-

1

2

•4

3

•2
=

16π

3

-4

3

．

點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了勾股定理、含30度的直角三角形三邊的關系和扇形面積的計算．