Question

【題目】如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊三角形．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO．

又∵△ACE是等邊三角形，

∴EO⊥AC（三線合一），即AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO．

又∵△ACE是等邊三角形，

∴EO平分∠AEC（三線合一），

∴∠AED= ∠AEC= ×60°=30°，

又∵∠AED=2∠EAD

∴∠EAD=15°，

∴∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°（三角形的一個外角等于和它外角不相鄰的兩內角之和），

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ADC=2∠ADO=90°，

∴平行四邊形ABCD是正方形．

【解析】（1）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．由題意易得△AOE≌△COE，∴∠AOE=∠COE=90°，∴BE⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）根據有一個角是90°的菱形是正方形．由題意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADC=2∠ADO=90°，∴四邊形ABCD是正方形．