Question

有一種產品的質量分成6種不同檔次，若工時不變，每天可生產最低檔次的產品40件；如果每提高一個檔次，每件利潤可增加1元，但每天要少生產2件產品．
（1）若最低檔次的產品每件利潤17元時，生產哪一種檔次的產品的利潤最大？并求最大利潤．
（2）由于市場價格浮動，生產最低檔次的產品每件利潤可以從8元到24元不等，那么生產哪種檔次的產品所得利潤最大？

Answer 1

分析：（1）關系式為：利潤=（最低檔次的利潤+檔次-1）×[原來可生產產品件數-2（檔次-1）]，求得相關代數式后，可利用頂點式求得相應的對稱軸，進而根據檔次為整數求得離對稱軸最近的整數檔次即可；
（2）結合（1）可得相應關系式，進而用頂點式可得相應的最大值，根據生產最低檔次的產品每件利潤的取值范圍可得相應檔次產品的檔次．

解答：解：（1）設生產第x檔次的產品，獲得利潤為y元，則y=[40-2（x-1）][17+（x-1）]
即y=-2(x-

5

2

)2+684.5
∴當x=2.5時，y的最大值為684.5
∵x為正整數
∴x=2時，y=684，x=3時，y=684，
∴當生產第2檔次或第3檔次的產品時所獲得利潤最大，最大利潤為684元；

（2）設生產最低檔次的產品每件利潤為a元，生產第x檔次的產品，獲得利潤為y元，
則y=[40-2（x-1）][a+（x-1）]
即y=-2(x-

22-a

2

)2+

a2+40a+400

2

∴當x=

22-a

2

時，y_最大=

a2+40a+400

2

=

(a+20)2

2

∵8≤a≤24，x為1到6的整數，
∴

22-a

2

＞0，a取最大值時，y最大，
∴a＜22，
∴要使y最大，必須a=20，即x=

22-20

2

=1，
即生產第1檔次的產品所得利潤最大．

點評：考查二次函數的應用；得到每件產品的利潤及銷售量是解決本題的關鍵；根據最低檔次的產品的利潤的相應的取值判斷出相應檔次是解決本題的難點．