Question

【題目】如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OACB是菱形，OB在x軸的正半軸上，sin∠AOB= ，反比例函數(shù)y= 在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F，則△AOF的面積等于（　　）

A.60
B.80
C.30
D.40

Answer 1

【答案】D
【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖所示．

設(shè)OA=a，BF=b，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB= ，∴AM=OAsin∠AOB= a，OM= = a，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ a， a）．∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y= 的圖象上，∴ a× a= =48，
解得：a=10，或a=﹣10（舍去）．
∴AM=8，OM=6．
∵四邊形OACB是菱形，
∴OA=OB=10，BC∥OA，
∴∠FBN=∠AOB．
在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN= ，∠BNF=90°，∴FN=BFsin∠FBN= b，BN= = b，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（10+ b， b）．∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y= 的圖象上，∴（10+ b）× b=48，解得：b= ，或b= （舍去）．∴FN= ，BN= ﹣5，MN=OB+BN﹣OM= ﹣1．S△AOF=S△AOM+S梯形AMNF﹣S△OFN=Sspan>梯形AMNF= （AM+FN）MN= （8+ ）×（ ﹣1）= ×（ +1）×（ ﹣1）=40．
故選D．
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，設(shè)OA=a，BF=b，通過(guò)解直角三角形分別找出點(diǎn)A、F的坐標(biāo)，結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出a、b的值，通過(guò)分割圖形求面積，最終找出△AOF的面積等于梯形AMNF的面積，利用梯形的面積公式即可得出結(jié)論．本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題、解直角三角形、梯形的面積公式以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是求出S梯形AMNF ． 本題屬于中檔題，難度不大，但數(shù)據(jù)較繁瑣，解決該題型題目時(shí)，通過(guò)分割圖形求面積法找出所求三角形的面積與梯形面積相等是關(guān)鍵．