Question

【題目】如圖, Rt△ABC中，∠B=90°，它的內切圓分別與邊BC、CA、AB相切于點D、E、F， (1)設AB=c, BC=a, AC=b, 求證: 內切圓半徑r＝ (a+b-c).

(2) 若AD交圓于P, PC交圓于H, FH//BC, 求∠CPD;

(3)若r=3, PD＝18, PC=27. 求△ABC各邊長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）45°（3）

【解析】

（1）根據切線長定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE．易證四邊形BDOF為正方形，BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC為等量關系列式．
（2）∠CPD為弧DH所對的圓周角，連接OD，易得弧DH所對的圓心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．
（3）由PD=18和r=3聯想到垂徑定理基本圖形，故過圓心O作PD的垂線OM，求得弦心距OM=3，進而得到∠MOD的正切值．延長DO得直徑DG，易證PG∥OM，得到同位角∠G=∠MOD．又利用圓周角定理可證∠ADB=∠G，即得到∠ADB的正切值，進而求得AB．再設CE=CD=x，用x表示BC、AC，利用勾股定理列方程即求出x．

解：（1）證明：設圓心為O，連接OD、OE、OF，
∵⊙O分別與BC、CA、AB相切于點D、E、F
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE
∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°
∴四邊形BDOF是矩形
∵OD=OF=r
∴矩形BDOF是正方形
∴BD=BF=r
∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r
∵AE+CE=AC
∴c-r+a-r=b
整理得：r= （a+b-c）

（2）取FH中點O，連接OD
∵FH∥BC
∴∠AFH=∠B=90°
∵AB與圓相切于點F，
∴FH為圓的直徑，即O為圓心
∵FH∥BC
∴∠DOH=∠ODB=90°
∴∠CPD=∠DOH=45°

（3）設圓心為O，連接DO并延長交⊙O于點G，連接PG，過O作OM⊥PD于M
∴∠OMD=90°
∵PD=18
∴DM=PD=9
∵BF=BD=OD=r=3，
∴OM=＝＝＝3
∴tan∠MOD=＝3
∵DG為直徑
∴∠DPG=90°
∴OM∥PG，∠G+∠ODM=90°
∴∠G=∠MOD
∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°
∴∠ADB=∠G
∴∠ADB=∠MOD
∴tan∠ADB==tan∠MOD=3
∴AB=3BD=3r=9
∴AE=AF=AB-BF=93＝6
設CE=CD=x，則BC=3+x，AC=6+x
∵AB2+BC2=AC2
∴(9)2．+(3+x)2＝(6+x)2
解得：x=9
∴BC=12，AC=15
∴△ABC各邊長AB=9，AC=15，BC=12