Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=BD．點E、F分別在AB、AD上，且AE=DF．連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H．下列結論：①△AED≌△DFB；②S_{四邊形BCDG}=CG²；③若AF=2DF，則BG=6GF．其中正確的結論有    ．（填序號）

Answer 1

【答案】分析：①先證明△ABD為等邊三角形，根據“SAS”證明△AED≌△DFB；
②證明∠BGE=60°=∠BCD，從而得點B、C、D、G四點共圓，因此∠BGC=∠DGC=60°，過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．證明△CBM≌△CDN，所以S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}，易求后者的面積．
③過點F作FP∥AE于P點，根據題意有FP：AE=DF：DA=1：3，則FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF．
解答：解：①∵ABCD為菱形，∴AB=AD．
∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB，故本小題正確；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴點B、C、D、G四點共圓，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
則△CBM≌△CDN，（AAS）
∴S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}．
S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=CG，CM=CG，
∴S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG=2××CG×CG=CG²，故本小題正確；

③過點F作FP∥AE于P點．                  
∵AF=2FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=1：6=FG：BG，
即BG=6GF，故本小題正確．
綜上所述，正確的結論有①②③．
故答案為：①②③．
點評：此題綜合考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定和性質，作出輔助線構造出全等三角形，把不規則圖形的面轉化為兩個全等三角形的面積是解題的關鍵．