Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．點D在邊AC上（不與A，C重合），連接BD，F為BD中點．
（1）若過點D作DE⊥AB于E，連接CF、EF、CE，如圖1． 設CF=kEF，則k=______；
（2）若將圖1中的△ADE繞點A旋轉，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點，如圖2所示．求證：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，點D在邊AC的三等分點處，將線段AD繞點A旋轉，點F始終為BD中點，求線段CF長度的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由F為BD中點，DE⊥AB，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到CF=EF；
（2）過點C作CE的垂線交BD于點G，設BD與AC的交點為Q．由tan∠BAC=，得到．證明△BCG∽△ACE，得到．得到GB=DE，得到F是EG中點．于是，即可得到BE-DE=EG=2CF；
（3）分類討論：當AD=時，取AB的中點M，連接MF和CM，tan∠BAC=，且BC=6，計算出AC=12，AB=．M為AB中點，則CM=，FM==2．當且僅當M、F、C三點共線且M在線段CF上時CF最大，此時CF=CM+FM=；當AD=時，取AB的中點M，連接MF和CM，類似于情況1，可知CF的最大值為．即可得到線段CF長度的最大值．
解答：解：（1）∵F為BD中點，DE⊥AB，
∴CF=BD，EF=BD，
∴CF=EF，
∴k=1；
故答案為1．

（2）如圖，過點C作CE的垂線交BD于點G，設BD與AC的交點為Q．

由題意，tan∠BAC=，
∴．
∵D、E、B三點共線，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴
∴GB=DE．
∵F是BD中點，
∴F是EG中點．
在Rt△ECG中，，
∴BE-DE=EG=2CF；

（3）情況1：如圖，當AD=時，取AB的中點M，連接MF和CM，

∵∠ACB=90°，tan∠BAC=，且BC=6，
∴AC=12，AB=．
∵M為AB中點，
∴CM=，
∵AD=，
∴AD=4．∵M為AB中點，F為BD中點，
∴FM==2．
如圖：∴當且僅當M、F、C三點共線且M在線段CF上時CF最大，
此時CF=CM+FM=．
情況2：如圖，當AD=時，取AB的中點M，連接MF和CM，
類似于情況1，可知CF的最大值為．
綜合情況1與情況2，可知當點D在靠近點C的
三等分點時，線段CF的長度取得最大值為．
點評：本題考查了三角形相似的判定與性質．也考查了旋轉的性質和三角函數的定義以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．