Question

（2013•靜安區二模）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在邊AC、AB上，DA=DB，BD與CE相交于點F，∠AFD=∠BEC．
求證：（1）AF=CE；
（2）BF²=EF•AF．

Answer 1

分析：（1）根據全等三角形的判定方法得出△BFA≌△AEC（AAS），即可得出答案；
（2）根據∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，得出△EFA∽△EAC，進而求出

EA

EC

=

EF

EA

，即可得出BF²=EF•AF．

解答：（1）證明：∵DA=DB，
∴∠FBA=∠EAC，
∵∠AFD=∠BEC，
∴180°-∠AFD=180°-∠BEC，
即∠BFA=∠AEC．
∵在△BFA和△AEC中

∠AFB=∠AEC ∠FBA=∠EAC AB=AC

，
∴△BFA≌△AEC（AAS）．
∴AF=CE．

（2）解：∵△BFA≌△AEC，
∴BF=AE．
∵∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，
∴△EFA∽△EAC．
∴

EA

EC

=

EF

EA

．
∴EA²=EF•CE．
∵EA=BF，CE=AF，
∴BF²=EF•AF．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定，根據已知得出∠BFA=∠AEC是解題關鍵．