Question

如圖，在四邊形ABCD中，，，DE交BC于E，交AC于F，，.

(1)求證：是等腰三角形；
(2)若，求△ACD的面積.

Answer 1

詳見解析

試題分析：(1)要證△FCD是等腰三角形，可證DF=CF或∠FCD=∠FDC.由DE//AB，∠B=90⁰，可得∠DEC=90⁰，又因為∠CDE=∠ACB=30⁰,所以∠DCF=30^0,,故∠FCD=∠FDC.
求△ACD的面積，應選擇一條可求長度的邊，并作出這條邊上的高，進而利用三角形的面積公式求解.由（1）可知：∠DCA=∠ACB=30⁰，∠B=90⁰，根據角平分線的性質可以想到過點A作CD邊的垂線AG=AB，且由條件易用ASA證△CBA≌△DEC，得AC=CD，再利用含30⁰的直角三角形性質求出AC=8，AG=AB=4,即可求解.

試題解析：
證明：∵DE//AB、∠B=90⁰
∴∠B=∠DEC=90⁰
∴∠CDE=∠ACB=30⁰
∴∠DCE=60^0,
∴∠DCF=60⁰-30⁰=30⁰
∴∠DCF=∠CDF
∴△FCD是等腰三角形.
解：過點A作AG⊥CD交CD于點G.
∵∠DCF=∠ACB=30⁰
∠B=∠DEC=90⁰
∴AB=AG
∵AB=4
∴AG=4   AC=8
∵在△CBA和△DEC中
∠B=∠DEC
DE=BC
∠ACB=∠CDE
∴△CBA≌△DEC
∴AC=CD=8
∴△ACD的面積=.