Question

如圖，在△ABC中，∠B，∠C的平分線交于點O，過O的直線交AB、AC與E，F，△AEF是等邊三角形．在BC上截取BG=BE，CH=CF，連接OG、OH．
（1）求證：△BOE≌△BOG，△OCF≌△OCH；
（2）求證：△OGH是等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的定義得到∠EBO=∠GBO，然后根據“SAS”可判斷△BOE≌△BOG，△OCF≌△OCH；
（2）根據等邊三角形的性質得到∠AEF=∠AFE=60°，再根據鄰補角的定義得∠BEO=∠CFO=120°，然后根據全等三角形的性質得∠BGO=∠BEO=120°，∠CHO=∠CFO=120°，所以∠OGH=60°，∠OHG=60°，最后根據等邊三角形的判定即可得到結論．

解答：解：（1）∵∠B，∠C的平分線交于點O，
∴∠EBO=∠GBO，
在△BOE和△BOG中

BE=BG ∠EBO=∠GBO BO=BO

，
∴△BOE≌△BOG（SAS）；
同理可得△OCF≌△OCH；

（2）∵△AEF是等邊三角形，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∴∠BEO=∠CFO=120°，
∵△BOE≌△BOG，△OCF≌△OCH，
∴∠BGO=∠BEO=120°，∠CHO=∠CFO=120°，
∴∠OGH=60°，∠OHG=60°，
∴△OGH是等邊三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質．