Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以點A為圓心，AC為半徑，作⊙A，交AB于點D，交CA的延長線于點E，過點E作AB的平行線EF交⊙A于點F，連接AF，BF，DF．

（1）求證：△ABC≌△ABF;
（2）當∠CAB等于多少度時，四邊形ADFE為菱形？請給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵EF∥AB，

∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，

∵∠E=∠EFA，

∴∠FAB=∠CAB，

在△ABC和△ABF中，

，

∴△ABC≌△ABF.

（2）

解：當∠CAB=60°時，四邊形ADFE為菱形．

證明：∵∠CAB=60°，

∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，

∴EF=AD=AE，

∴四邊形ADFE是菱形．

【解析】（1）首先利用平行線的性質得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS證得兩三角形全等即可；
（2）當∠CAB=60°時，四邊形ADFE為菱形，根據∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，從而得到EF=AD=AE，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行判斷四邊形ADFE是菱形．
【考點精析】掌握菱形的判定方法和圓周角定理是解答本題的根本，需要知道任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．