Question

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點E、F分別是邊BC、CD的中點，直線EF交邊AD的延長線于點M，連接BD．
（1）求證：四邊形DBEM是平行四邊形；
（2）若BD=DC，連接CM，求證：四邊形ABCM為矩形．

Answer 1

分析：（1）由四邊形DBEM的兩組對邊相互平行：DM∥BE，EF∥BD，可以判定四邊形DBEM是平行四邊形；
（2）由等腰△BDC的“三合一”的性質推知DE⊥BC，然后結合（1）中的平行四邊形DBEM的性質證得四邊形DMCE是平行四邊形，則CM∥DE；再由直角梯形的性質推知AM∥BC，故四邊形ABCM是平行四邊形．

解答：（1）證明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，即DM∥BE，
∵E、F分別是邊BC、CD的中點
∴EF∥BD，
∴四邊形DBEM是平行四邊形．

（2）證明：連接DE，
∵DB=DC，且E是BC中點，∴DE⊥BC，
∴DE∥AB．
又∵AB⊥BC，
∴AB∥DE
∵由（1）知四邊形DBEM是平行四邊形，
∴DM∥BE且DM=BE，
∴DM∥EC且DM=EC，
∴四邊形DMCE是平行四邊形，
∴CM∥DE，
∴AB∥CM．
又AM∥BC∴四邊形ABCM是平行四邊形，
∵AB⊥BC，∴四邊形ABCM是矩形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質、矩形的判定．矩形是有一內角為直角是平行四邊形．