Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）交x軸于點A（2，0），B（﹣3，0），交y軸于點C，且經過點d（﹣6，﹣6），連接AD，BD．

（1）求該拋物線的函數關系式；

（2）若點M為X軸上方的拋物線上一點，能否在點A左側的x軸上找到另一點N，使得△AMN與△ABD相似？若相似，請求出此時點M、點N的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與A，D重合），過點P作PQ∥y軸交直線AD于點Q，以PQ為直徑作⊙E，則⊙E在直線AD上所截得的線段長度的最大值等于　 　．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2） 或 ，點 或 或（﹣3，0）或 ；（3） .

【解析】

（1）用交點式函數表達式得：y＝a（x﹣2）（x+3），將點D坐標代入上式即可求解；

（2）分∠MAB＝∠BAD、∠MAB＝∠BDA，兩種大情況、四種小情況，分別求解即可；

（3）QH＝PHcos∠PQH＝，即可求解．

解：（1）用交點式函數表達式得：y＝a（x﹣2）（x+3），

將點D坐標代入上式并解得：a＝，

故函數的表達式為：y＝…①，

則點C（0，）；

（2）由題意得：AB＝5，AD＝10，BD＝3 ，

①當∠MAB＝∠BAD時，

當∠NMA＝∠ABD時，△AMN∽△ABD，

則tan∠MAB＝tan∠BAD＝，

則直線MA的表達式為：y＝﹣x+b，

將點A的坐標代入上式并解得：b＝，

則直線AM的表達式為：y＝﹣x+…②，

聯立①②并解得：x＝0或2（舍去2），

即點M與點C重合，則點M（0，2），則AM＝2，

∵△AMN∽△ABD，∴，解得：AN＝4，

故點N（2﹣4，0）；

當∠MN′A＝∠ABD時，△ANM∽△ABD，

同理可得：點N′（2﹣，0），

即點M（0，），點N（2﹣4，0）或（2﹣，0）；

②當∠MAB＝∠BDA時，

同理可得：點M（﹣1，），點N（﹣3，0）或（﹣，0）；

故：點M（0，）或（﹣1，）， 點N（2﹣4，0）或（2﹣，0）或（﹣3，0）或（﹣，0）；

（3）如圖所示，連接PH，

由題意得：tan∠PQH＝，則cos∠PQH＝，

則直線BD的表達式為：y＝x﹣，

設點P（x，），則點H（x，），

則QH＝PHcos∠PQH＝PH＝）＝，

∵＜0，故QH有最大值，當x＝﹣2時，其最大值為．