Question

如圖，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且A點的坐標為（，0），點C、D分別在第一、三象限，且此一次函數與反比例函數圖象交于C、D兩點，又OA=OB=AC=BD．
（1）求一次函數與反比例函數的解析式．
（2）在y軸上是否存在點P，使△BCP為等腰直角三角形？若存在，請寫出所有符合條件的P點坐標（不用寫出計算過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設一次函數的解析式為y=kx+b（k≠0），反比例函數的解析式為（m≠O），
∵OA=OB，A（，0），
∴B（0，-），
∴可得：，解得：，
∴y=x-，
作CE⊥x軸于E，則△ACE是等腰直角三角形，
∴AE=CE=sin45°=1，
∴C（1+，1），
∴，解得m=1+，
∴；

（2）存在，P點坐標分別是（0，1）或（0，2+）．
分析：（1）作CE⊥x軸于E，由OA=OB可知△ACE是等腰直角三角形，OA=OB，且A（，0），則B（0，-）代入一次函數的解析式為y=kx+b可求直線AB的解析式，由AC=，可求AE=CE=1，故C（1+，1），代入反比例函數的解析式為可求反比例函數的解析式；
（2）過C點作CP⊥y軸，或過c點作CP⊥AC，交y軸于P′，根據等腰直角三角形的性質可求滿足條件的P點坐標．
點評：本題考查了點的坐標的求解與一次函數、反比例函數關系式的確定方法．運用待定系數法是解題的關鍵．