Question

已知關于x的一元二次方程（a-1）x²-（2a-3）x+a=0有實數根．
（1）求a的取值范圍；
（2）設x₁，x₂是一元二次方程（a-1）x²-（2a-3）x+a=0的兩個根，且x₁²+x₂²=9，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）若一元二次方程有實數根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關于a的不等式，求出a的取值范圍．
（2）利用根與系數的關系化簡x₁²+x₂²=9，求出a的值．
解答：解：（1）當a-1=0即a=1時，方程不是一元二次方程；
當a≠1時，由△=b²-4ac≥0，得（2a-3）²-4a（a-1）≥0，
解得a≤，
∵a-1≠0，∴a≠1，
則a的取值范圍是a≤且a≠1，
（2）∵x₁，x₂是一元二次方程（a-1）x²-（2a-3）x+a=0的兩個根，
∴x₁+x₂=，
x₁x₂=．
又∵x₁²+x₂²=9，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9．
（）²-2×=9．
整理，得7a²-8a=0，
a（7a-8）=0．
∴a₁=0，a₂=（舍去）．
經檢驗0是方程的根．故a=0．
點評：總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
本題主要應用根與系數的關系及利用根的判別式確定a值．