Question

【題目】已知：如圖1，矩形ABCD內接于⊙O．⊙O的半徑為4，AB=4，將矩形ABCD繞點O逆時針旋轉，得到矩形A′B′C′D′，當頂點A′、B′在劣弧弧AD上滑動，矩形ABCD與矩形A′B′C′D′交于點M，N，G，H．

（1）求AD；

（2）判斷四邊形MNGH的形狀，并說明理由；

（3）在旋轉過程中是否存在四邊形MNGH的面積有最大值或最小值？如果存在，求出面積；如果不存在，試簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）結論：四邊形MNGH的形狀是菱形．理由見解析；（3）當矩形ABCD、矩形A′B′C′D′互相垂直時，這個四邊形MNGH的面積有最小值，最小值是16，四邊形MNGH的面積的最大值是．

【解析】

（1）根據勾股定理計算即可；
（2）結論：四邊形MNGH的形狀是菱形．首先證明四邊形MNGH是平行四邊形，再利用面積法證明鄰邊相等即可解決問題；
（3）當矩形ABCD、矩形A′B′C′D′互相垂直時，如圖3中，這個四邊形MNGH的面積有最小值，最小值是4×4=16．如圖4中，當頂點B′與頂點A重合或頂點A′與頂點D重合時，這個四邊形MNGH的面積有最大值；

（1）如圖1中，連BD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴BD為直徑，

∴

（2）結論：四邊形MNGH的形狀是菱形．

理由：如圖2中，

∵四邊形ABCD、四邊形A′B′C′D′都是矩形，

∴重疊四邊形MNGH的對邊互相平行，

∴四邊形MNGH是平行四邊形，

過N作NL⊥GH于點L，NK⊥HM于點M，又因NL=NK，

所以S四邊形MNGH=GHNL=HMKN，（也可通過“AAS”證△NLG≌△NMK）

∴MH=HG，

∴四邊形MNGH的形狀是菱形．

（3）當矩形ABCD、矩形A′B′C′D′互相垂直時，如圖3中，這個四邊形MNGH的面積有最小值，最小值是4×4=16．

如圖4中，當頂點B′與頂點A重合或頂點A′與頂點D重合時，這個四邊形MNGH的面積有最大值，設GA=x，則

由勾股定理 解得

則四邊形MNGH的面積的最大值是