Question

如圖，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=120°，點D在線段AB上運動（D不與A、B重合），連接CD，作∠CDE=30°，DE交線段AC于E．
（1）當DE∥BC時，△ACD的形狀是

 

三角形（填銳角、直角或鈍角）；當∠BCD=15°時，∠EDA=

 

；
（2）請添加一個條件，使得△ADE≌△BCD，并說明理由；
（3）在點D運動的過程中，△CDE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠AED的度數；若不可以，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由DE∥BC，∠CDE=30°，可得∠BCD=30°，再由∠ACB=120°，即可推出∠ACD=90°，即可推出△ACD的形狀為直角三角形；由BC=AC，∠ACB=120°，可得∠A=∠B=30°，再由∠BCD=15°，即可推出∠CDA=45°，然后由∠CDE=30°，即可推出∠EDA的度數；
（2）若BC=AD，則AC=AD，∠ACD=∠ADC，由已知條件即可推出∠A=∠B=30°，即可推出∠CDB=∠A+∠ACD，∠AED=∠ACD+∠CDE，再由∠A=∠CDE=30°，即可推出∠AED=∠BDC，然后通過全等三角形的判定定理“AAS”即可推出結論；
（3）當∠CDE為75°或60°時，△CDE的形狀可以是等腰三角形，即可推出∠AED的度數．

解答：解：（1）①∵DE∥BC，∠CDE=30°，
∴∠BCD=30°，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD的形狀為直角三角形，
②∵BC=AC，∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∵∠BCD=15°，
∴∠CDA=45°，
∵∠CDE=30°，
∴∠EDA=15°；
故答案為：直角，15°．

（2）添加條件AD=BC，
∵BC=AC，∠ACB=120°，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC，∠A=∠B=30°，
∵∠CDB=∠A+∠ACD，∠AED=∠ACD+∠CDE，
∴∠A=∠CDE，∠AED=∠BDC，
∴∠AED=∠BDC，
∵在△AED和△BDC中，

∠A=∠B ∠AED=∠BDC AD=BC

，
∴△AED≌△BDC（AAS）；

（3）△CDE的形狀可以是等腰三角形，∠AED的度數為105°或60°．

點評：本題主要考查全等三角形的判定與性質、直角三角形的判定、等腰三角形的判定與性質、外角的性質，關鍵在于運用數形結合的思想，熟練地運用相關的性質定理，認真地進行計算．