Question

11．已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥AB，垂足為E，梯形的面積為80，CE=8．
（1）當AB：CD=5：3時，求AB與CD的長；
（2）當∠B=60°，且AD=BC時，求AB與CD的長．

Answer 1

分析 （1）設AB=5a，CD=3a，根據梯形的面積公式，列出方程即可解決問題．
（2）如圖作DH⊥AB于H，由Rt△ADH≌Rt△BCE，推出AH=EB=CE÷tan60°=$\frac{8}{\sqrt{3}}$，設CD=HE=x，由題意$\frac{1}{2}$（2x+$\frac{16}{\sqrt{3}}$）•8=80，列方程即可．

解答 解：（1）設AB=5a，CD=3a，
由題意$\frac{1}{2}$•（5a+3a）•8=80，
∴a=$\frac{5}{2}$，
∴AB=$\frac{25}{2}$，CD=$\frac{15}{3}$．

（2）如圖作DH⊥AB于H，
∵CD∥AB，DH⊥AB，CE⊥AB，
∴DH=CE，
在Rt△ADH和Rt△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{DH=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADH≌Rt△BCE，
∴AH=EB=CE÷tan60°=$\frac{8}{\sqrt{3}}$，設CD=HE=x，
由題意$\frac{1}{2}$（2x+$\frac{16}{\sqrt{3}}$）•8=80，
∴x=10-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=10+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，CD=10-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查梯形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會構建方程解決問題，學會添加常用輔助線構造全等三角形，屬于中考常考題型．