Question

已知，如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，C是弧AB的中點，連接BC并延長與AD的延長線相交于點P，BE⊥DC，垂足為E，DF∥EB，交AB與點F，FH⊥BD，垂足為H，BC=4，CP=3．
求（1）BD和DH的長；（2）BE•BF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先連接AC，由此可以得出AC=BC，可得出AP=5，再根據切割線定理可得PD•PA=PC•PB，再得出PD、AD的長，最后求出BD的長．再根據∠CDB是弧BC所對圓周角，求出∠CDB=45°得出∠BDF=45°，得出△BDA∽△BHF即可求出DH的長．
（2）根據第一題的得出，知道∠CDB=45°，∠E=90°得出∠DBE=45°再根據已知條件得出△FHB∽△CEB，分別求出
BE•BF=BC•BH即可求出結果．
解答：解：（1）連接AC，可知∠ACB=90°，AC=BC，
由勾股定理得AP=5
又∵由割線定理可得PD•PA=PC•PB，
∴PD=4.2，AD=0.8
∵∠ADB=90°，AB=4
∴BD=5.6
又∵∠CDB是弧BC所對圓周角，
∴∠CDB=45°，
∵BE⊥DC，DF∥EB，
∴DF⊥DE，即∠EDF=90°，
可得∠BDF=∠EDF-∠CDB=45°，
∴DH=HF
又由△BDA∽△BHF
∴=
∴DH=0.7

（2）∵∠CDB=45°，∠E=90°
∴∠DBE=45°
又∵∠ABC=45°，
∴∠FBH=∠CBE
又∠FHB=∠E=90°
∴△FHB∽△CEB
∴BE•BF=BC•BH
=4.9×4
=19.6
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，在解題時要注意知識的綜合運用，必要的時候圖形要作一些輔助線方可．