Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10，DC切⊙O于點C，AD⊥DC，垂足為D，AD交⊙O于點E．
（1）求證：BC=EC；（2）若，求DC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC．根據切線的性質，得OC⊥DC，結合已知條件，得AD∥OC，根據兩條直線平行，內錯角相等，得∠DAC=∠ACO，再根據同圓的半徑相等，得∠BAC=∠ACO，從而得到∠DAC=∠BAC，再根據圓周角定理得到它們所對的弧相等，進一步得到弧所對的弦相等；
（2）根據直徑所對的圓周角是直角，得到直角三角形ABC．根據圓周角定理，得∠BAC=∠BEC，從而利用解直角三角形的知識求得BC的長，再利用CD=AC•sin∠DAC求解．
解答：（1）證明：連接OC．
由DC是切線，得OC⊥DC，
又AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO．
又由OA=OC，
得∠BAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠BAC，
∴，
∴BC=EC．

（2）解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BAC=∠BEC，
∴AC=AB•cos∠BAC=AB•cos∠BEC=8，
∴，
∴，
又∵∠DAC=∠BAC=∠BEC，且AD⊥DC，
∴．
點評：此題綜合運用了切線的性質、圓周角定理和解直角三角形的知識等．連接過切點的半徑是圓中常見的輔助線．在圓中，要證明兩條弦相等，可以證明它們所對的圓周角相等或圓心角相等．