Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=2x+b分別交x，y軸于點A、C，拋物線y=ax²+x+4經過A、C兩點，交x軸于另外一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在第一象限內拋物線上，連接PB、PC，作平行四邊形PBDC，DE⊥y軸于點E，設點P 的橫坐標為t，線段DE的長度為d，求d與t之間的函數關系式．
（3）在（2）的條件下，延長BD交直線AC與點F，連接OF，若∠AFO=∠BFO，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）如圖1中，設P（t，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），D（x，y）．根據平行四邊形的性質對角線互相平分，利用中點坐標公式，列出方程即可解決問題．
（3）如圖2中，作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，NE⊥OB于E．先求出點N的坐標，求出直線NB的解析式，再求出直線PC的解析式，解方程組即可解決問題．

解答 解：（1）對于拋物線y=ax²+x+4，令x=0，得y=4，
∴C（0，4），把C（0，4），代入y=2x+b中，得b=4，
∴直線解析式為y=2x+4，令Y=0，得x=-2，
∴A（-2，0），把A（-2，0）代入y=ax²+x+4，得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．

（2）如圖1中，設P（t，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），D（x，y）．

∵C（0，4），B（4，0），四邊形CPBD是平行四邊形，
∴$\frac{t+x}{2}$=$\frac{0+4}{2}$，x=4-t，
∴d=DE=x=4-t（0＜t＜4）．

（3）如圖2中，作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，NE⊥OB于E．

∵∠OFA=∠OFB，OM⊥FC，ON⊥FB，
∴OM=ON，
∵$\frac{1}{2}$•OA•OC=$\frac{1}{2}$•AC•OM，OA=2，OC=4，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴ON=OM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵BN=$\sqrt{O{B}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{16-\frac{16}{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•ON•BN=$\frac{1}{2}$•OB•EN，
∴EN=$\frac{2}{5}$，OE=$\sqrt{O{N}^{2}-E{N}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
∴N（$\frac{1}{5}$，-$\frac{2}{5}$），
設直線BN的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{\frac{1}{5}k+b=-\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{19}}\\{b=-\frac{8}{19}}\end{array}\right.$，
∵PC∥BN，
∴直線PC的解析式為y=$\frac{2}{19}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{19}x+4}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{34}{19}}\\{y=\frac{1512}{361}}\end{array}\right.$，
∴點P坐標為（$\frac{34}{19}$，$\frac{1512}{361}$）．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、平行四邊形的性質、角平分線的性質定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會利用面積分求線段的長，學會用轉化的思想思考問題，求出點N的坐標是本題的突破點，屬于中考壓軸題．