Question

如圖所示，菱形ABCD的邊長為6cm，∠DAB=60°，點M是邊AD上一點，且DM=2cm，點E、F分別從A、C同時出發，以1cm/s的速度分別沿邊AB、CB向點B運動，EM、CD的延長線相交于G，GF交AD于O。設運動時間為x（s），△CGF的面積為y（cm²）。
（1）當x為何值時，GD的長度是2cm？
（2）求y與x之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻，使得線段GF把菱形ABCD分成的上、下兩部分的面積之比為1：5？若存在，求出此時x的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）∵DC∥AB， ∴△DMG∽△AME， ∴ ∴ 即當x=4s時，GD的長度是2cm； （2）∵△DMG∽△AME ∴ ∴ ∴GC=， 過F作FH⊥DC于H點 ∴FH= ∴ ； （3）設運動x（s）時，GF分菱形上、下兩部分的面積比為1：5 此時△OGD∽△FGC， ∴ ∴， 過D作DP⊥BC于P，則PD=6×sin60°= 即 解得：，（舍去） 經檢驗：是原方程的解， ∴當時，GF分菱形上、下兩部分的面積比為1：5。