Question

在正方形ABCD中：
（1）如圖①，點E、F分別在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足為M．求證：AE=BF．
（2）如圖②，如果點E、F、G、H分別在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足M．那么GE、HF相等嗎？證明你的結論．
（3）若將②中的條件“GE⊥HF”改為GE=HF，那么GE、HF有什么位置關系？證明你的結論．
（4）如圖③，在等邊三角形ABC中，點E、F分別在BC、CA上，且BE=CF，你能猜想∠AMF的度數嗎？證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△BAE和△CBF中
，
△BAE≌△CBF（AAS），
∴AE=BF；


（2）結論：HF=GE
分別過G、H作GT⊥BC、HN⊥CD，
∴GT⊥HN，
∴∠FHN+∠HPO=90°，∠EGT+∠GPM=90°，∠GPM=∠HPO，
∴∠FHN=∠EGT，
∵HN=GT，∠GTE=∠NHF=90°，
∴△GTE≌△HNF，
∴GE=HF；

（3）結論：GE⊥HF
分別過G、H作GT⊥BC、HN⊥CD，
∵GT=HN GE=HF，
∴直角三角形HFN≌直角三角形GTE，
∴∠FHN=∠EGT，
又∵∠FHN+∠HPO=90°，
∠HPO=∠GPM，
∴∠GPM+∠EGT=90°，
∴∠GMP=90°，
∴GE⊥HF；

（4）結論：∠AMF=60°．
在△ABE和△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠ABE=∠BME=60°，
∴∠AMF=∠BME=60°．
分析：有三角形的直接證明三角形全等，沒三角形的構造直角三角形，利用正方形的性質證明三角形全等；對于第4問也是證明三角形全等，再用角等量代換求解．
點評：本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質以及作輔助線的能力和適時等量代換的能力．