Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=3，AC=4，D是AC的中點，P是AB上一動點，連接DP并延長至點E，使EP=DP，過P作PK⊥AC，K為垂足．設AP=m（0≤m≤5）．
（1）用含m的代數式表示DK的長；
（2）當AE∥BC時，求m的值；
（3）四邊形AEBC的面積S會隨m的變化而變化嗎？若不變，求出S的值；若變化，求出S與m的函數關系式；
（4）作點E關于直線AB的對稱點E'，當△DE'K是等腰三角形時，求m的值．（直接寫出答案即可）

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△APK和Rt△ABC中，根據三角函數可得AK=，再分0≤m≤2.5和2.5＜m≤5兩種情況討論可得DK的長；
（2）先證△DPK∽△EDA，再根據相似三角形的性質可得m的值；
（3）分別過D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H為垂足，由AAS可證△DGP≌△EHP，根據全等三角形的性質和三角函數可得EH=DG=×2=，則S_{四邊形AEBC}=S_△ABC+S_△ABE，求得S的值；
（4）找到E點關于直線AB的對稱點E'在DK的垂直平分線上的點，依此得到m的值．
解答：解：（1）在Rt△APK和Rt△ABC中
cos∠BAC=
∴AK=…（1分）
∴當0≤m≤2.5時，DK=2-；
當2.5＜m≤5時，DK=-2；

（2）∵PK⊥AC，∠C=Rt∠，
∴PK∥BC∥AE，
∴△DPK∽△EDA，
∴，
∵EP=DP，
∴，即DK=AD=1，
∴2-=1，
解得 ；

（3）四邊形AEBC的面積S不變，且S=9   
理由如下：
分別過D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H為垂足
則∠DGP=∠EHP=Rt∠
∵在△DPK與△EDA中，
，
∴△DGP≌△EHP（AAS）
∴DG=EH   
∵sin∠BAC=
∴EH=DG=×2=，
∴S_{四邊形AEBC}=S_△ABC+S_△ABE=×3×4+×5×=9；

（4）當△DE'K是等腰三角形時，．
點評：考查了相似形綜合題，涉及的知識有：三角函數，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，對稱的性質，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．