Question

已知一個直角三角板PMN，∠MPN=30°，MN=2，使它的一邊PN與正方形ABCD的一邊AD重合（如圖放置在正方形內）把三角板繞點P旋轉，使點M落在直線BC上一點F處，則CF的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：解直角三角形求出正方形的邊長AD的長度，然后分①點F在BC上，點N不在BC上時，根據旋轉的性質可得AF=AM，A然后利用“HL”證明Rt△ABF和Rt△ADM全等，根據全等三角形對應邊相等可得BF=DM，從而得到CF=CM，然后求解即可；②點F、B都在直線BC上時，根據旋轉的性質可得BF=DM，然后根據CF=BC+BF計算即可得解．
解答：解：∵∠MPN=30°，MN=2，
∴AD=MN•cot∠MPN=2×cot30°=2×=2，
①如圖1，當點F在BC上，點N不在BC上時，根據旋轉的性質AF=AM，
在Rt△ABF和Rt△ADM中，，
∴Rt△ABF≌Rt△ADM（HL），
∴BF=DM，
又∵BF=BC-CF，DM=CD-CM，
∴CF=CM=CD-DM=2-2；
②如圖2，△PMN繞點P順時針旋轉90°時，點F、B都在直線BC上時，
根據旋轉的性質，BF=MN=2，
所以，CF=BC+BF=2+2，
綜上所述，CF的長為（2-2）或（2+2）．
故答案為：（2-2）或（2+2）．
點評：本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，以及解直角三角形，難點在于要分△PMN的頂點N不在直線BC上與在直線BC上兩種情況討論求解．