Question

【題目】如圖，直線圖像與y軸、x軸分別交于A、B兩點

（1）求點A、B坐標和∠BAO度數

（2）點C、D分別是線段OA、AB上一動點（不與端點重合），且CD=DA，設線段OC的長度為x ,,請求出y關于x的函數關系式以及定義域

（3）點C、D分別是射線OA、射線BA上一動點，且CD=DA，當ΔODB為等腰三角形時，求C的坐標（第（3）小題直接寫出分類情況和答案，不用過程）

Answer 1

【答案】（1）A(0,3),B(),60°（2）（0＜x＜3）（3）（0，0），，（0，6）

【解析】

(1)對于一次函數解析式，分別令x與y為0求出對應的y與x的值，得到A、B兩點坐標，然后再根據三角函數求出∠BAO的度數即可；

(2)先證明△ACD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得AD=CD=AC=3-x，作DH⊥y軸于點H，用含x的式子表示出DH的長，然后根據三角形面積公式進行求解即可；

(3)當△ODB為等腰三角形時，分三種情況討論：當OD=DB時；當BD=BO時；當OD=OB時，利用等邊三角形的性質分別求出C點坐標即可.

(1)一次函數，

令，則有，解得：，，

令，得， ，

，

在 ， ，

∵sin∠ABO=，

，

；

(2)過點D作DH⊥y軸，垂足為點H，

，

，

，

∴ΔADC是等邊三角形，

，，

== ，

∵S△OCD=，

；

(3)由(1)知，在Rt△OAB中，OA=3，OB=3，∠BAO=60°，AB=6，∠ABO=30°，

當△ODB為等腰三角形時，分三種情況進行討論：

①如圖1，當OD=DB時，D在OB的垂直平分線上，則D為AB的中點，AD=AB=3，

∵CD=DA，∠CAD=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴AC=AD=3，

∴C與原點重合，

∴C點坐標為(0，0)；

②如圖2，當BD=BO=3時，AD=AB-BD=6-3，

∵CD=DA，∠CAD=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴AC=AD=6-3，

∴OC=OA-AC=3-(6-3)=3-3，

∴C點坐標為(0，3-3)；

③如圖3，當OD=OB=3時，∠ODB=∠OBD=30°，

∵∠AOD=∠BAO-∠ODB=60°-30°，

∴∠ODB=∠AOD=30°，

∴AD=OA=3，

∵CD=DA，∠CAD=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴AC=AD=3，

∴OC=OA+AC=3+3=6，

∴C點坐標為(0，6)，

綜上，點C的坐標為(0，0)，，(0，6).