Question

如圖，已知兩圓內(nèi)切于A，過(guò)外圓直徑AB的一端B引外圓的弦BD與內(nèi)圓切于C點(diǎn)，若BC=m，CD=n，求兩圓半徑的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：根據(jù)兩圓內(nèi)切于A，過(guò)外圓直徑AB的一端B引外圓的弦BD與內(nèi)圓切于C點(diǎn)，求證△BOC∽△BAD，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例，再設(shè)大圓半徑為R，小圓為r，得出①②兩式，解方程即可求出兩圓半徑的長(zhǎng)．

解答：解：∵兩圓內(nèi)切于A，過(guò)外圓直徑AB的一端B引外圓的弦BD與內(nèi)圓切于C點(diǎn)，
∴OC∥AD，∴△BOC∽△BAD，∴

BC

BD

=

BO

BA

，
設(shè)大圓半徑為R，小圓為r
則有

m

m+n

=

2R-r

2R

，①
在Rt△OCB中，r²+m²=（2R-r）²②，
將①②兩式組成方程組，解得：R=

m

2

，r=

mn

m+n

．
答：大圓半徑為R=

m

2

，小圓半徑為r=

mn

m+n

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的理解和掌握，此題的關(guān)鍵是解關(guān)于兩圓半徑的方程，這是此題的難點(diǎn)．