Question

如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E．⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F，且AD=3，cos∠BCD=

3

4

．
（1）求證：CD∥BF；
（2）求⊙O的半徑；
（3）求弦CD的長．

Answer 1

分析：（1）由BF是⊙O的切線得到AB⊥BF，而AB⊥CD，由此即可證明CD∥BF；
（2）連接BD，由AB是直徑得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=

3

4

，所以cos∠BAD=

AD

AB

=

3

4

，然后利用三角函數即可求出⊙O的半徑；
（3）由于cos∠DAE=

AE

AD

=

3

4

，而AD=3，由此求出AE，接著利用勾股定理可以求出ED，也就求出了CD．

解答：（1）證明：∵BF是⊙O的切線，
∴AB⊥BF，（1分）
∵AB⊥CD，
∴CD∥BF；（2分）

（2）解：連接BD，∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，（3分）
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=

3

4

，（4分）
∴cos∠BAD=

AD

AB

=

3

4

，
又∵AD=3，
∴AB=4，
∴⊙O的半徑為2；（5分）

（3）解：∵∠BCD=∠DAE，
∴cos∠BCD=cos∠DAE=

AE

AD

=

3

4

，AD=3，
∴AE=ADcos∠DAE=3×

3

4

=

9

4

，（6分）
∴ED=

32-( 9 4 )2

=

3 7

4

，（7分）
∴CD=2ED=

3 7

2

．（8分）

點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．