Question

如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形，BE交AC于F，AD交CE于H，求證：
（1）△ACD≌△BCE；
（2）△FCH是等邊三角形（提示：可先證明△AHC≌△BFC）

Answer 1

分析：（1）利用等邊三角形的性質得出條件，可證明：△BCE≌△ACD；
（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再運用平角定義得出∠BCF=∠ACH進而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH，再由∠ACH=60°根據“有一個角是60°的三角形是等邊三角形可得△CFH是等邊三角形．

解答：證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；

（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH，
在△BCF和△ACH中，

∠CBF=∠CAH BC=AC ∠BCF=∠ACH

，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH；
∵∠ACH=60°，
∴△CFH是等邊三角形．

點評：本題考查了三角形全等的判定和性質及等邊三角形的性質；普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同時還要結合等邊三角形的性質，創造條件證明三角形全等是正確解答本題的關鍵．