Question

（2009•石景山區二模）（1）如圖1，四邊形ABCD中，AB=CB，ABC=60°，∠ADC=120°，請你猜想線段DA，DC之和與線段BD的數量關系，并證明你的結論；
（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，若點P為四邊形ABCD內一點，且∠APD=120°，請你猜想線段PA，PD，PC之和與線段BD的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過構建全等三角形將所求的三條線段進行轉換，延長CD至E，使DE=DA．那么CD+AD=CE了，只要證明BD和CE的關系即可，根據∠ADC=120°，那么∠ADE=60°，因為AD=DE，那么△ADE是個等邊三角形，AD=DE，∠E=60°．根據AB=AC，∠ABC=60°，那么△ABC是個等邊三角形，那么AB=AC，
∠BAC=60°，那么∠BAD=60+∠CAD=∠EAC，因此根據求出∠EAC=∠BAD，AB=AC，AD=AE，△BAD就和△CAE全等了，因此BD=CE=CD+DE=CD+AD．
（2）我們可參照（1）在四邊形ABCD外側作正三角形AB′D，然后連接AC，根據（1）得出那么△ABC和△AB′D都是等邊三角形，那么AB=AC，AB′=AD，∠BAD=∠B′AC=60°+∠CAD，因此△BAD和△CAB′全等，那么B′D=BD，由（1）得出B′P=PA+PD，BD=PA+PD．那么我們連接B′C，分兩種情況進行討論：
①P在B′C上，那么B′C=B′P+PC=AP+PD+PC=BD．
②如果點P不在B′C上面，那么B′C＜B′P+PC，即BD＜PD+AD+PC．
解答：解：（1）如圖1，延長CD至E，使DE=DA．連接AC．
∵∠ADC=120°，
∴∠ADE=60°．
∵AD=DE，
∴△EAD是等邊三角形．
∴AE=AE，∠DAE=60°．
∴AB=AC，∠ABC=60°，
∵∠BAD=60°+∠CAD，∠EAC=60°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．
∴△BAD≌△CAE．
故AD+CD=DE+CD=CE=BD．

（2）如圖2，在四邊形ABCD外側作正三角形AB′D，連接AC，
那么△AB′D和△ABC都是等邊三角形，
∴AB=AC，AB′=AD．
∵∠BAD=∠B′AC=60°+∠CAD，
∴△AB′C≌△ADB，得B′C=DB．
∵四邊形AB′DP符合（1）中條件，
∴B′P=AP+PD．
連接B′C，
（ⅰ）若滿足題中條件的點P在B′C上，
則B′C=PB′+PC，
∴B′′C=AP+PD+PC．
∴BD=PA+PD+PC．
（ⅱ）若滿足題中條件的點P不在B′C上，
∵B′C＜PB′+PC，
∴B′C＜AP+PD+PC．
∴BD＜PA+PD+PC．
綜上，BD≤PA+PD+PC．
點評：本題考查了全等三角形的判定，等邊三角形的性質和三角形三邊的關系等知識點，本題中利用全等三角形來進行線段的轉換是解題的關鍵．