Question

（1）如圖①，M、N分別是⊙O的內接正△ABC的邊AB、BC上的點且BM=CN，連接OM、ON，求∠MON的度數；
（2）圖②、③、…④中，M、N分別是⊙O的內接正方形ABCD、正五邊ABCDE、…
正n邊形ABCDEFG…的邊AB、BC上的點，且BM=CN，連接OM、ON，則圖②中∠MON的度數是

 

，圖③中∠MON的度數是

 

；…由此可猜測在n邊形圖中∠MON的度數是

 

；
（3）若3≤n≤8，各自有一個正多邊形，則從中任取2個圖形，恰好都是中心對稱圖形的概率是

 

．

Answer 1

分析：（1）本題主要證明△OBM≌△OCN就可以證明∠MOB=∠NOC，從而得到∠MON=∠BOC即可求解；
（2）解決方法與（1）的解決方法相同；
（3）邊數是偶數的正多邊形是中心對稱圖形，邊數是奇數的不是，根據概率公式即可求解．

解答：解：（1）連接OB、OC；
∵△ABC是⊙O的內接正三角形，
∴OB=OC，∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°；
又∵BM=CN，
∴△OBM≌△OCN，（2分）
∴∠MOB=∠NOC，
∴∠MON=∠BOC=120°；（4分）

（2）90°；72°；

360°

n

．（每空1分）（7分）

（3）有6個正多邊形，其中有3個是中心對稱圖形，從中任取兩個時有30種等可能的結果，而恰好都是中心對稱圖形有6種結果，因而恰好都是中心對稱圖形的概率是

1

5

．（9分）

點評：證明兩角相等的問題一般是轉化為證明三角形全等的問題，構造三角形是解題的關鍵．