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(1)如圖1,若⊙O1與⊙O2外切于A,BC是⊙O1與⊙O2外公切線,B、C為切點(diǎn),求證:AB⊥AC.
(2)如圖2,若⊙O1與⊙O2外離,BC是⊙O1與⊙O2的外公切線,B、C為切點(diǎn),連心線O1O2分別交⊙O1、⊙O2于M、N,BM、CN的延長線交于P,則BP與CP是否垂直?證明你的結(jié)論.
(3)如圖3,若⊙O1與⊙O2相交,BC是⊙O1與⊙O2的公切線,B、C為切點(diǎn),連心線O1O2分別交⊙O1、⊙O2于M、N,Q是線段MN上一點(diǎn),連接BQ、CQ,則BQ與CQ是否垂直?證明你的結(jié)論.

【答案】分析:(1)連接O1B,O2C,根據(jù)切線的性質(zhì)可以得到∠O1BC=∠O2CB=90°,再用△O1AB,△O2AC的內(nèi)角和是180°進(jìn)行證明.
(2)連接O1B,O2C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠O1BC=∠O2CB=90°,再用三角形的內(nèi)角和以及對(duì)頂角的性質(zhì)進(jìn)行證明.
(3)連接O1B,O2C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠O1BC=∠O2CB=90°,然后用三角形中大邊對(duì)大角以及三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行證明.
解答:(1)證明:如圖1,連接O1A,O2C,
∵BC是兩圓的外公切線,
∴∠O1BC=∠O2CB=90°,
∴O1B∥O2C,
∴∠O1+∠O2=180°,
∵∠O1AB=∠O1BA=(180°-∠O1)=90°-∠O1=90°-∠ABC,
∴∠ABC=∠O1
同理:∠ACB=∠O2
∴∠ABC+∠ACB=(∠O1+∠O2)=90°,
∴∠BAC=90°.
∴AB⊥AC;

(2)解:BP⊥CP.
證明:如圖2,連接O1B,O2C,
∵BC是兩圓的外公切線,
∴∠O1BC=∠O2CB=90°,
∴O1B∥O2C,
∴∠O1+∠O2=180°.
∠O1BM=∠O1MB=(180°-∠O1)=90°-∠O1=90°-∠PBC,
∴∠PBC=∠O1
同理:∠PCB=∠O2
∴∠PBC+∠PCB=(∠O1+∠O2)=90°,
∴∠BPC=90°,
∴BP⊥CP;

(3)解:BQ與CQ不垂直.
證明:如圖3,連接O1B,O2C,
∵BC是兩圓的外公切線,
∴∠O1BC=∠O2CB=90°,
∴O1B∥O2C,
∴∠O1+∠O2=180°.
∵O1B>O1Q,
∴∠O1QB>∠O1BQ,
同理:∠O2QC>∠O2CQ,
∴∠O1QB+∠O2QC>∠O1BQ+∠O2CQ,
∴∠O1QB+∠O2QC>90°,
∴∠BQC<90°
∴BQ與CQ不垂直.
點(diǎn)評(píng):本題考查圓與圓的位置關(guān)系,(1)中兩圓是外切的,AB是兩圓的公切線,根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行證明.(2)中兩圓是外離的,仍然可以用切線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行證明.(3)中兩圓是相交的,先用切線的性質(zhì)得到90°的角,然后在三角形中用大邊對(duì)大角以及三角形的內(nèi)角和證明兩直線不垂直.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知△ABC,(1)如圖1,若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn),則∠P=90°+
1
2
∠A;
(2)如圖2,若P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn),則∠P=90°-∠A;
(3)如圖3,若P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn),則∠P=90°-
1
2
∠A.
上述說法正確的個(gè)數(shù)是(  )
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PA
PC
=
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5
,試求cos∠BAD的值精英家教網(wǎng)

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(1)如圖1,若AE=AD,∠ADC=60°,請(qǐng)?zhí)剿骶段CD與AF+BE之間所滿足的數(shù)量關(guān)系;
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