Question

如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）求證：EO=FO；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行線性質和角平分線性質及，由平行線所夾的內錯角相等易證．
（2）根據矩形的判定方法，即一個角是直角的平行四邊形是矩形可證
解答：（1）證明：∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，（2分）
同理，FO=CO，（3分）
∴EO=FO．（4分）

（2）解：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．（5分）
∵EO=FO，點O是AC的中點．
∴四邊形AECF是平行四邊形，（6分）
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4=×180°=90°．
即∠ECF=90度，（7分）
∴四邊形AECF是矩形．（8分）
點評：本題涉及矩形的判定定理，解答此類題的關鍵是要突破思維定勢的障礙，運用發散思維，多方思考，探究問題在不同條件下的不同結論，挖掘它的內在聯系，向“縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件和所得的結論．