Question

（2009•湛江）已知矩形紙片OABC的長為4，寬為3，以長OA所在的直線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系；點P是OA邊上的動點（與點O、A不重合），現將△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB邊上選取適當的點D，將△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直線PE、PF重合．
（1）若點E落在BC邊上，如圖①，求點P、C、D的坐標，并求過此三點的拋物線的函數關系式；
（2）若點E落在矩形紙片OABC的內部，如圖②，設OP=x，AD=y，當x為何值時，y取得最大值？
（3）在（1）的情況下，過點P、C、D三點的拋物線上是否存在點Q，使△PDQ是以PD為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的寬為3即可得出C的坐標為（0，3）．當E落在BC邊時，四邊形OPEC和四邊形PADF均為正方形的性質，那么OP=PE=OC=3，PA=PF=AD=1．因此P的坐標為（3，0），D的坐標為（4，1）．然后根據P，C，D三點的坐標，用待定系數法求出過P、C、D三點的拋物線的解析式．
（2）根據折疊的性質可得出∠CPO=∠CPE，∠FPD=∠APD．由此可得出∠CPD=90°，由此不難得出Rt△POC∽Rt△DAP，可根據線段OC、OP、PA、AD的比例關系，得出關于x，y的函數關系式．根據關系式即可得出y的最大值以及對應的x的值．
（3）可分兩種情況進行討論：
①當PQ是另一條直角邊，即∠DPQ=90°時，由于∠DPC=90°，且C在拋物線上，因此C與Q重合，Q點的坐標即為C點的坐標．
②當DQ是另一條直角邊，即∠PDQ=90°時，那么此時DQ∥PC．如果將PC所在的直線向上平移兩個單位，即可得出此時DQ所在直線的解析式．然后聯立直線DQ的解析式以及拋物線的解析式組成方程組，如果方程組無解，則說明不存在這樣的Q點，如果方程組有解，那么方程組的解即為Q的坐標．
綜合上述兩種情況即可得出符合條件的Q的坐標．
解答：
解：（1）由題意知，△POC，△PAD均為等腰直角三角形，可得P（3，0），C（0，3），D（4，1），
設過此三點的拋物線為y=ax²+bx+c（a≠0），
則，
∴，
∴過P、C、D三點的拋物線的函數關系式為y=x²-x+3．

（2）由已知PC平分∠OPE，PD平分∠APF，且PE、PF重合，則∠CPD=90°，
∴∠OPC+∠APD=90°，又∠APD+∠ADP=90°，
∴∠OPC=∠ADP．
∴Rt△POC∽Rt△DAP．
∴即
∵y=x（4-x）
=-x²+x
=-（x-2）²+（0＜x＜4）
∴當x=2時，y有最大值．

（3）假設存在，分兩種情況討論：
①當∠DPQ=90°時，由題意可知∠DPC=90°，且點C在拋物線上，
故點C與點Q重合，所求的點Q為（0，3）
②當∠QDP=90°時，過點D作平行于PC的直線DQ，假設直線DQ交拋物線于另-點Q，
∵點P（3，0），C（0，3），
∴直線PC的方程為y=-x+3，將直線PC向上平移2個單位與直線DQ重合，
∴直線DQ的方程為y=-x+5．
由，
得或．
又點D（4，1），∴Q（-1，6），故該拋物線上存在兩點Q（0，3），（-1，6）滿足條件．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形翻折變換、三角形相似等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．