Question

【題目】如圖Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，點P在邊AC上運動（點P與點A、C不重合）．以P為圓心，PA為半徑作⊙P交邊AB于點D、過點D作⊙P的切線交射線BC于點E（點E與點B不重合）．

（1）求證：BE＝DE；

（2）若PA＝1．求BE的長；

（3）在P點的運動過程中．（BE+PA）PA的值是否有最大值？如果有，求出最大值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE＝3；（3）（BE+PA）PA有最大值，最大值為．

【解析】

（1）由半徑相等可設∠PAD＝∠ADP＝α，根據切線的性質得到∠EDP＝90°，證明∠BDE=90°-α，由∠ACB＝90°，得到∠B＝90°﹣α，再根據“等角對等邊”即可求解；

（2）過點E作EG⊥BD，則點G為BD的中點，根據等量代換得到∠GED＝∠BAC，從而求出tan∠BAC，則cos∠BAC ，sin∠BAC ，根據銳角三角函數的定義即可求出AD，DG以及BE；

（3）設PA＝x，根據（2）可得出（BE+PA）PA＝﹣2x2+5x，根據二次函數的性質即可求解．

解：（1）連接PD，∵PA=PD，

∴設∠PAD＝∠ADP＝α，

∵DE是圓的切線，則∠EDP＝90°，

∴∠PDA+∠BDE＝90°，即α+∠BDE＝90°，

∴∠BDE=90°-α

∵∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°﹣α，

∴∠BDE=∠B

∴BE＝DE；

（2）過點E作EG⊥BD，則點G為BD的中點，

∵∠GED+∠EDB＝90°，∠PDA+∠EDB＝90°，

∴∠GED＝∠PDA，

∴∠GED＝∠BAC，

tan∠BAC，則cos∠BAC ，sin∠BAC ，

∵PA=1，AC=4，BC=2，

∴AB=，

∴AD＝2PAcos∠BAC ，

DG＝BGBD＝（AB﹣AD）（2），

BE＝DE3，

（3）設PA＝x，

由（2）知：BE＝DE＝5﹣，

則（BE+PA）PA＝(5﹣2x+x)x=﹣x2+5x，

∵﹣1＜0，故（BE+PA）PA有最大值，

∴當x時，有最大值為．