Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E是對角線BD上一點（BE＞DE）．

（1）利用直尺和圓規，在圖中過點E作AE的垂線，交BC邊于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）中，求證：AE＝EF；

（3）若（1）中四邊形ABFE的面積為4，求AE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）過點E作AE的垂線即可；

（2）如圖，過點E作EM⊥AB、EN⊥BC，先證明矩形MBNE是正方形，則∠AEM＝∠FEN，再證明△AEM≌△FEN，從而得到AE＝EF；

（3）利用△AEM≌△FEN得到S△AEM＝S△FEN，則S四邊形ABFE＝S正方形MBNE，利用正方形面積公式得到BM＝2，則AM＝AB﹣BM＝1，然后利用勾股定理計算AE的長．

（1）如圖，

（2）如圖，過點E作EM⊥AB、EN⊥BC，

∴∠EMB＝∠MBN＝∠ENB＝90°，

∴四邊形MBNE是矩形，

又∵四邊形ABCD為正方形，

∴BD平分∠ABC，∴EM＝EN，

∴矩形MBNE是正方形，

∵∠AEM+∠MEF＝∠MEF+∠FEN＝90°，

∴∠AEM＝∠FEN，

又∵∠AME＝∠FNE＝90°，EM＝EN，

∴△AEM≌△FEN（ASA），

∴AE＝EF；

（3）∵△AEM≌△FEN，

∴S△AEM＝S△FEN，

∴S四邊形ABFE＝S正方形MBNE，

∵四邊形ABFE的面積為4，

∴BM2＝4，

∴BM＝2（取正舍負），

∴AM＝AB﹣BM＝1，

∴AE＝